已知,.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求证:.
分析与证明(1) 根据题意,有
.令
,则其导函数
于是在上单调递增,在上单调递减,在处取得极大值,如图.
因此可得.
(2) 显然只需要证明的情形,即证明,考虑到均位于的单调递增区间,因此只需要证明也即接下来我们证明设上述不等式左侧为,则其导函数
考虑到当时,有于是又当时,有于是当时,有,因此在上单调递增,结合,命题得证.
(3) 显然只需要证明的情形,与(2)类似,只需要证明
设上述不等式左侧为,则其导函数
因此在上单调递增,结合,命题得证.