近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)
求证:-a2-b2a a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.
解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )
令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2
又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
-aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a
-a2-b2a a2-b2a
例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.
解: 依题意有
tan=2S
∵12 2 1 tan4
又∵0
4
例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ||a|,则a的取值范围是 ( )
A a0 B a2 C 02 D 0 p
分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ||a| 求解.
解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| a
得y02+( y024 -a)2a2 即y02(y02+16-8a) 0
∵y020 (y02+16-8a) 0即a2+ y028 恒成立
又∵ y020
而 2+ y028 最小值为2 a2 选( B )