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数学奥林匹克高中训练题(一)

发布时间: 2009-08-31   来源:查字典高考网

数学奥林匹克高中训练题(一)

第一试

一、选择题(每小题6分,共36分)

1、已知sinacosb= 则cosasinb的取值范围为(  )

  (A)[1,] (B)[] (C)[] (D)[]

2、一个人以匀速6m/s去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红

  变绿,汽车以1m/s2的加速度匀加速开走,那么(  )

  (A)人可在7s内追上汽车    (B)人可在10s内追上汽车

  (C)人追不上汽车,其间最近距离为5m  (D)人追不上汽车,其间最近距离为7m

3、已知a、b是不相等的正数,在a、b之间插入两组数

  x1,x2,,xn,

  y1,y2,,yn,

  使a,x1,x2,,xn,b成等差数列,a,y1,y2,,yn,b成等比数列.则下列不等式

(1)

(2)

(3)

(4)中,为真命题的是(  )

  (A)(1)、(3) (B)(1)、(4)  (C)(2)、(3) (D)(2)、(4)

4、已知长方体的三条面对角线长为5,4,x.则x的取值范围为(  )

  (A)(2,)  (B)(3,9)

  (C)(3,)  (D)(2,9)

 

 

5、已知直线l1:y=ax+3a+2与l2:y= 3x+3的交点在第一象限.则a的取值范围为(  )

  (A)( (B)(,)  (C)(3,  (D)(+)

6、已知a、b、c三人的年龄次序满足:

(1)如果b不是年龄最大,那么a年龄最小;

(2)如果c不是年龄最小,那么a年龄最大.

则这三个人的年龄从大到小为(  )

  (A)bac  (B)cba  (C)abc  (D)acb

二、填空题(每小题9分,共54分)

1、不等式(x1)0的解集为 .

2、抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A、B两点,则以AB为直径的圆的方程为

   .

3、圆锥的母线长为l,它和底面所成的角为,这个圆锥的内接正方体的棱长为

   (正方体有4个顶点在圆锥底面上,另4个顶点在圆锥侧面上).

4、在足球比赛中,甲方边锋从乙方球门(图2中AB)

  附近带球过人沿直线(图2中CD)向前推进,于

  点C起脚射门。请给出使命中角ACB最大的一

  个充分条件 (不增加辅助线).

5、观察下列等式:

  32+42=52,102+112+122=132+142,212+222+232+242=252+262+272,

  362+372+382+392+402=412+422+432+442

  其第k个等式为 .

6、集合A={x1,x2,x3,x4,x5},计算A中的二元子集两元素之和组成集合B={3,4,5,6,

  7,8,9,10,11,13}.则A=  .

三、(满分20分)椭圆的两个端点为A(a,0)、A1(a,0),过线段AA1

内的点作垂线交椭圆于两点 C、D.连AC、A1D相交于P. 求点P所在的曲线方

程.

四、(满分20分)在直三棱住ABCA1B1C1中,BC1A1C,BC1AB1.求证:△ABC

  为等腰三角形.

五、(满分20分)对于给定的角a1,a2,,an,试讨论方程xn+xn1sina1+xn2.

  sina2++xsinan1+sinan=0是否有模大于2的复数根?

第二试

一、(满分50分)在锐角△ABC中,外接圆半径为R=1,A、B、C的对边为

a、b、c.求证:

二、(满分50分)设S为{1,2,,50}的具有下列性质的子集,S中任意两个不同

  元素之和不被7整除.则S中元素最多可能有几个?

三、(满分50分)一些选手参加竞赛,其中有些选手互相认识,有些选手互相不认识,

而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人.若A与B认识,但没有共同的

熟人,求证:A、B认识的熟人一样多.

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