四个重要定理:
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R,则P、Q、R共线的充要条件是
△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R,则AP、BQ、CR共点的充要条件是
托勒密(Ptolemy)定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理(西姆松线)
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题:
1.
【分析】CEF截△ABD
【评注】也可以添加辅助线证明:过A、B、D之一作CF的平行线。
2.
求证:
DEG截△ABM
DGF截△ACM
【评注】梅氏定理
3. D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上,
求S△LMN。
【分析】
4. 以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证:AE、BF、CG相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
5.
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。则CD=DA=AB,AC=BD。
由托勒密定理,ACBD=ADBC+CDAB。
【评注】托勒密定理
6. 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证:
【分析】
【评注】托勒密定理
7. △ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P,作PEAB于E,延长ED交AC延长线于F。
求证:BCEF=BFCE+BECF。
【分析】
【评注】西姆松定理(西姆松线)
8.
【分析】
【评注】面积法
9.
求证:(1)aRabdb+cdc;
(2) aRacdb+bdc;
(3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。
10.△ABC中,H、G、O分别为垂心、重心、外心。
求证:H、G、O三点共线,且HG=2GO。(欧拉线)
【分析】
【评注】同一法
11.△ABC中,AB=AC,ADBC于D,BM、BN三等分ABC,与AD相交于M、N,延长CM交AB于E。
求证:MB//NE。
【分析】
【评注】对称变换
12.
【分析】
【评注】平移变换
13.
【分析】
【评注】旋转变换
费马点
【分析】将C
OO=OB,PP =PB。显然△BOC≌△BOC,△BPC≌△BPC。
由于BOC=BOC=120=180BOO,A、O、O、C四点共线。
AP+PP+PCAC=AO+OO+OC,即PA+PB+PCOA+OB+OC。
求证:MQ//NP。
结合C知,只需证
△AMQ∽△CPN
连结AC、BD,其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K,连结OE、OM、OK、ON、OF。记ABO=,MOK=,KON=,则
EOM=,FON=,EOF=2+2=180。
BON=90NOF-COF=90-=
CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM
又OCN=MAO,△OCN∽△MAO,于是
AMCN=AOCO
同理,AQCP=AOCO。
【评注】
15.(96全国竞赛)⊙O1和⊙O2与ABC的三边所在直线都相切,E、F、G、H为切点,EG、FH的延长线交于P。求证:PABC。
【分析】
16.(99全国竞赛)如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分BAD。在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。求证:GAC=EAC。
因为AH是BAD的角平分线,由角平分线定理,
可得
过C作AB的平行线交AG的延长线于I,过C作AD的平行线交AE的延长线于J。
则
所以
又因为CI//AB,CJ//AD,故ACI=BAC=DAC=ACJ。
因此,△ACI≌△ACJ,从而IAC=JAC,即GAC=EAC。
证明:作△EOH
记BOG=,GOE=。连结EF交BO于K。只需证
注:筝形:一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。
事实上,上述条件是充要条件,且M在OB延长线上时结论仍然成立。
证明方法为:同一法。
蝴蝶定理:P是⊙O的弦AB的中点,过P点引⊙O的两弦CD、EF,连结DE交AB于M,连结CF交AB于N。求证:MP=NP。
【分析】设GH为过P的直径,F
又FFGH,ANGH,FF∥AB。FPM+MDF=FPN+EDF
=EFF+EDF=180,P、M、D、F四点共圆。PFM=PDE=PFN。
△PFN≌△PFM,PN=PM。
【评注】一般结论为:已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P,过P作两条相交弦CD、EF,连CF、ED交AB于M、N,已知OP=r,P到AB中点的距离为a,则