一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+(2-3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出(2-3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知(2-3x)0，
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](05)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y1的实数,故函数y的值域为{y∣y1,yR｝。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y-1或y1｝)
三.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=(-x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由-x2+x+20,可知函数的定义域为x[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4[0，9/4]
练习：求函数y=2x-5+15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y3})
四.判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)
当y2时,由=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)0，解得：2
练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y-8或y0)。
五.值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+10，上述分式不等式与不等式2x2-x-30同解，解之得-13/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-13/2),
z=-(x-2)2+4且x[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
练习：若x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()
A.(-，+)B.[-7，+]C.[0，+)D.[-5，+)
(答案：D)。
六.图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+(x-2)2的值域。
点拨：根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为-2x+1(x1)
y=3(-1
2x-1(x2)
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七.单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x-1-3x(x1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=-1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)=-1-3x,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-1-3x
在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y4/3｝。
练习：求函数y=3+4-x的值域。(答案：{y|y3｝)
八.换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+2x+1的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的值，确定原函数的值域。
解：设t=2x+1(t0),则
x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.
练习：求函数y=x-1x的值域。(答案：{y|y-3/4｝
九.构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22,
KC=(x+2)2+1。
由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共
练习：求函数y=x2+9+(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y2｝)
十.比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,yR，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
x=3+4k,y=1+3k,
z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
练习：已知x,yR，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)1｝)
十一.利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。(答案：y2)
十二.不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知x/(1-x)0
以下供练习选用：求下列函数的值域
1.Y=(15-4x)+2x-5;({y|y3｝)
2.Y=2x/(2x-1)。(y1或y0)
注意变量哦