光子问答精选[36]数形结合求函数最值

　　在求函数最值时，若函数的解析式或者经过简单处理变形后具有明显的几何意义，我们可以利用数形结合法来求函数的最值，下面举例来进行说明：

　　例1 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为______．

　　——提问者：静待花开 2016-09-04 12:04

　　解（解答者：上善若水任方圆）

　　设，， 则于是从而原问题转化为在的条件下，求的最值．如图所示：

　　当直线过点时，．

　　当直线过点时，有最大值．

　　结合，，得故

　　注本题解法较多，如平方、柯西不等式、三角换元、向量法、导数等等，这里仅介绍数形结合法．

　　例2 求函数的最大值．

　　——提问者：终日乾乾或跃在渊 2016-09-02 18:36

　　解（解答者：琪琪1509）

　　将函数表达式进行变形：

　　考虑其几何意义：表示抛物线上的点到点的距离与到点的距离之差．

　　因此题目即求的最大值，如图：

　　因为（等号当且仅当三点共线，且位于点左侧时成立）

　　因此当位于时，取得最大值，其最大值为，

　　所以．

　　总结 数形结合法求函数的最值多是作出函数的简图或根据解析式反映的几何意义（如距离，斜率等），然后借助图象或解析几何中的位置关系、相关公式来解决问题．

　　练习

　　1．求函数的值域．

　　——提问者：燕子 2016-09-22 10:02

　　2．求

　　的最大值．

　　——提问者：函谷关 2016-09-02 03:51

　　3．求函数的最大值．

　　——提问者：msqshuai 2016-11-07 21:19

　　答案

　　1．；

　　2．；

　　3．．