吴国平：正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力

　　在初中数学学习中，我们已经已经学习了最基本的边角关系相关知识，如勾股定理、解直角三角形等等。

　　进入高中后，高中数学教材继续深化这一块内容，如增加正弦定理和余弦定理。高中数学课本在引入正弦定理内容时，会提出一个探究性问题：在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?；在引入余弦定理内容时，则会提出探究性问题如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。

　　设置这些问题情境一个是从学生已有的几何知识出发，另一个主要是培养学生数学思想方法运用能力。

　　培养学生的数学思想方法能力是高中数学学习中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。如在引入正弦定理和余弦定理时创设相关问题情境，学生在提出问题、分析问题、解决问题过程中，掌握和理解相关知识，同时学会运用相关的数学思想方法。

　　因此，我们今天来讲讲正弦定理和余弦定理相关综合运用问题。

　　我们要知道，依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

　　(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

　　(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论。

　　[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。

　　典型例题1：

　　如何运用正弦定理和余弦定理来解决问题，似然教材中会提供一些建议，但对于一些综合性问题，两个定理都能用，是选用正弦定理还是余弦定理，关系到个人解题方法积累度。

　　应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷。

　　已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

　　正弦定理和余弦定理并不是孤立的。解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用。在解决三角形问题中，面积公式S＝1/2absin C＝1/2bcsin A＝1/2acsin B最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用。

　　典型例题2：

　　在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，Ab?sin Asin B。

　　有很多同学即使熟知正弦定理和余弦定理，在解决具体问题时，也经常不知道选择哪个更好，不能灵活转化，从而使问题复杂化，所以正确选择正弦定理和余弦定理是解这类问题的关键。