故事解读整数与数列：平方和公式

当几千名学员仍然沉浸在2010年网校暑期班的快乐学习中，为了让孩子们提前接触到更加精彩的秋季班课程，网校的各位老师在忙碌的暑期上课之余，投入了120%的精力，课程体系研讨、课程教研讨论、录制脚本研究、课程视频录制、视频后期制作，老师们加班加点，为的就是让孩子们听上最过瘾的秋季班第一讲！

下面听听我们的兰海老师为大家讲的四年级秋季课程整数与数列中的平方和公式吧！

整数与数列：平方和公式

平方和公式

　平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1*2+2*2+3*2++n*2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：2n=n的平方)

证明方法

证法一（归纳猜想法）：

1、N＝1时，1＝1（1＋1）（21＋1）/6＝1

2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（22＋1）/6＝5

3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6

则当N＝x＋1时，

1＋4＋9＋＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6

＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6

＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6

也满足公式

4、综上所述，平方和公式1*2+2*2+3*2++n*2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

证法二 （利用恒等式(n+1)*3=n*3+3n*2+3n+1）：

(n+1)*3-n*3=3n*2+3n+1,

n*3-(n-1)*3=3(n-1)*2+3(n-1)+1

3*3-2*3=3*(2*2)+3*2+1

2*3-1*3=3*(1*2)+3*1+1.

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)*3-1=3(1*2+2*2+3*2+....+n*2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代入上式得：

n*3+3n*2+3n=3(1*2+2*2+3*2+....+n*2)+3(n+1)n/2+n

整理后得： 1*2+2*2+3*2+....+n*2=n(n+1)(2n+1)/6

a*2+b*2=a(a+b)-b(a-b)

四年级秋季课程目录安排表

兰海老师的秋季课程班