数学奥林匹克高中训练题（一）

数学奥林匹克高中训练题（一）

第一试 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、已知sinacosb= 则cosasinb的取值范围为（　 ） 　 (A)[1，] (B)[] (C)[] (D)[] 2、一个人以匀速6m/s去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红 　 变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么（　 ） 　 (A)人可在7s内追上汽车　 　 (B)人可在10s内追上汽车 　 (C)人追不上汽车，其间最近距离为5m　 (D)人追不上汽车，其间最近距离为7m 3、已知a、b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数 　 x1,x2,,xn, 　 y1,y2,,yn, 　 使a,x1,x2,,xn,b成等差数列，a,y1,y2,,yn,b成等比数列.则下列不等式 （1） （2） （3） （4）中，为真命题的是（　 ） 　 (A)（1）、（3） (B)（1）、（4）　 (C)（2）、（3） (D)（2）、（4） 4、已知长方体的三条面对角线长为5，4，x.则x的取值范围为（　 ） 　 (A)（2，）　 (B)（3，9） 　 (C)（3，）　 (D)（2，9） 　 　 5、已知直线l1:y=ax+3a+2与l2:y= 3x+3的交点在第一象限.则a的取值范围为（　 ） 　 (A)（ (B)（，）　 (C)（3，　 (D)（+） 6、已知a、b、c三人的年龄次序满足： （1）如果b不是年龄最大，那么a年龄最小； （2）如果c不是年龄最小，那么a年龄最大. 则这三个人的年龄从大到小为（　 ） 　 (A)bac　 (B)cba　 (C)abc　 (D)acb 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、不等式(x1)0的解集为 . 2、抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A、B两点，则以AB为直径的圆的方程为 　 　. 3、圆锥的母线长为l，它和底面所成的角为，这个圆锥的内接正方体的棱长为 　 　（正方体有4个顶点在圆锥底面上，另4个顶点在圆锥侧面上）. 4、在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门（图2中AB） 　 附近带球过人沿直线（图2中CD）向前推进，于 　 点C起脚射门。请给出使命中角ACB最大的一 　 个充分条件 （不增加辅助线）. 5、观察下列等式： 　 32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272， 　 362+372+382+392+402=412+422+432+442 　 其第k个等式为 . 6、集合A={x1,x2,x3,x4,x5}，计算A中的二元子集两元素之和组成集合B={3，4，5，6， 　 7，8，9，10，11，13}.则A=　 . 三、（满分20分）椭圆的两个端点为A(a,0)、A1(a,0),过线段AA1 内的点作垂线交椭圆于两点 C、D.连AC、A1D相交于P. 求点P所在的曲线方 程. 四、（满分20分）在直三棱住ABCA1B1C1中，BC1A1C，BC1AB1.求证：△ABC 　 为等腰三角形. 五、（满分20分）对于给定的角a1，a2，，an，试讨论方程xn+xn1sina1+xn2. 　 sina2++xsinan1+sinan=0是否有模大于2的复数根？ 第二试 一、（满分50分）在锐角△ABC中，外接圆半径为R=1，A、B、C的对边为 a、b、c.求证： 二、（满分50分）设S为{1，2，，50}的具有下列性质的子集，S中任意两个不同 　 元素之和不被7整除.则S中元素最多可能有几个？ 三、（满分50分）一些选手参加竞赛，其中有些选手互相认识，有些选手互相不认识， 而任何两个不相识的选手都恰有两个共同的熟人.若A与B认识，但没有共同的 熟人，求证：A、B认识的熟人一样多.