竞赛专题讲座－平面几何证明

【竞赛知识点拨】

1． 线段或角相等的证明

（1）　 利用全等△或相似多边形；

（2）　 利用等腰△；

（3）　 利用平行四边形；

（4）　 利用等量代换；

（5）　 利用平行线的性质或利用比例关系

（6）　 利用圆中的等量关系等。

2． 线段或角的和差倍分的证明

（1）　 转化为相等问题。如要证明a=bc，可以先作出线段p=bc，再去证明a=p，即所谓截长补短，角的问题仿此进行。

（2）　 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

3． 两线平行与垂直的证明

（1）　 利用两线平行与垂直的判定定理。

（2）　 利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的三线合一可证明垂直。

（3）　 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

【竞赛例题剖析】

【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。

【分析1】构造两个全等△。

连结ED、AC、AF。

CF=DF△ACF≌△EDF

PAB=AEB=PFB

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。

PFB=POB

注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。

【例2】△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

【分析】只需证， PMPN=MSNT。

（2，4）△APM∽△PBN

PMPN=AMBN

（BNT=AMS，BTN=MAS）△BNT∽△SMA

MSNT=AMBN

【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：O1AO2=M1AM2。

【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C，交O1O2于M，则C为P1P2的中点，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM为M1M2的中垂线。

在O1M上截取MO3=MO2，则M1AO3=M2AO2。

故只需证O1AM1=O3AM1，即证。

由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。

【例4】在△ABC中，ABAC，A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DEAB于E，求证：AE=。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA

DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC

DFA=DAF=DAG。

方法2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG

连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG

DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。

【例5】ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。

求证：线段PM为圆心到ABC平分线距离的2倍。

【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。

若角平分线不过O，则延长DO至D，使OD=OD，则只需证DD=PM。连结DP、DM，则只需证DMPD为平行四边形。

过O作mPK，则DD,KP，DPK=DKP

BL平分ABC，MKBLBL为MK的中垂线DKB=DMK

DPK=DMK，DP∥DM。而D D∥PM，

DMPD为平行四边形。

【例6】在△ABC中，AP为A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BHAP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。

倍长中线：延长AM至M，使AM=MA，连结BA，如图6-1。

PQ∥AB

ABQ=180HBA+BAH+CAP)= 180-90CAP=90BAP=ABQ

方法2、结合角平分线和BHAH联想对称知识。

延长BH交AC的延长线于B，如图6-2。则H为BB的中点，因为M为BC的中点，连结HM，则HM∥B/C。延长HM交AB于O，则O为AB的中点。延长MO至M，使OM=OM，连结MA、MB，则AMBM是平行四边形，

MP∥AM，QM∥BM。于是，，所以PQ∥AB。

【例7】菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

求证：MQ∥NP。（95年全国联赛二试3）

【分析】由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证AMQ=CPN，

结合C知，只需证△AMQ∽△CPN，AMCN=AQCP。

连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记ABO=，MOK=，KON=，则

EOM=，FON=，EOF=2+2=180。

BON=90NOF-COF=90-=

CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM

又OCN=MAO，△OCN∽△MAO，于是，

AMCN=AOCO

同理，AQCP=AOCO。

【例8】ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KPAB。

【分析】延长KP交AB于L，则只需证PAL+APL=90，

即只需证PDC+KPC=90，只需证PDC=PKF，

因为P、F、K、E四点共圆，故只需证PDC=PEF，即EF∥DC。

△DME∽△CNF

【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AMBC。

【分析】连结BE、CD交于H，则H为垂心，故AHBC。（同一法）

设AHBC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。

OM1∥DFOM1=。

OM2∥EGOM2=。

只需证OGDF=EGOF，即Rt△OEG∽Rt△ODFDOF=DHB=EHC=EOG。