指数函数、对数函数
一、计算：
例1.化简
(1) (2)
(3)
解：(1)x的指数是
所以原式=1
(2)x的指数是
=0
所以原式=1
(3)原式=
例2.若，求
解：因为
所以f(x)+f(1-x)=1
=
例3.已知m,n为正整数，a0,a11,且
求m,n
解：左边=
原式为loga(m+n)=logamn
得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1
因为m,n?N，所以从而m=n=2
二、比较大小
例1.试比较与的大小
解：令121995=a0则
?=
所以
例2.已知函数f(x)=logax (a0,a11,x?R+)若x1,x2?R+,试比较与的大小
解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)
∵x1,x2?R+, (当且仅当x1=x2时，取=号)，
当a1时，有，
即 (当且仅当x1=x2时，取=号)
当a1时，有，
即 (当且仅当x1=x2时，取=号)
例3.已知y1=，y2=，当x为何值时
(1)y1=y2 (2)y1y2 (3)y1y2
解：由指数函数y=3x为增函数知
(1)y1=y2的充要条件是：2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3
(2)y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得x2或x3
(3)y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得23
三、证明
例1.对于自然数a,b,c (a￡b￡c)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2)
求证：a+b=c
证明：由(1)得：
把(2)代入得：abc=70=257,a￡b￡c
由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c
例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：34
证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，p=2,q=31
A=6lg2+lg31=lg(2631)=lg1984
100010000 故34
例3.设f(x)=logax (a0,a11)且 (q为锐角)，求证：115
证明：∵q是锐角，，从而a1
又f(15)==sinq+cosq
=1
故a15 综合得：115
例4.已知01,x2+y=0，求证：
证：因为01，所以ax0由平均值不等式
故
四、图象和性质
例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b
解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，
所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3
例6.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值
解：易知f(x)的定义域为(0,+￥)
因为y1=3+在(0,+￥)上是减函数，y2=log2x在(0,+￥)上是增函数，而当y1=y2，即
3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知
故当x=4时，得f(x)的最大值是2
另解：f(x)￡3+=3- (1) f(x)=log2x (2)
(1)2+(2)消去log2x，得3f(x)￡6，f(x)￡2
又f(4)=2,故f(x)的最大值为2
例7.求函数的最小值
解：由1-3x0得，x0,所以函数的定义域为(-￥,0)
令3x=t,则t?(0,1)，于是
故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23
五、方程和不等式
例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5 (2) 2lgxxlg2-3xlg2-21+lgx+4=0
解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31) =5
log2[2x(2x -31)]=5 (2x)2-312x=32
解得：2x=32, x=5
(2)原方程即：(2lgx)2-52lgx+4=0
解得：x1=100,x2=1
例2.设a0且a11,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1)
由D=4a2-430得a31,即a1
令f(t)= t2-2at+1
f(a)=a2-2a2+1=1-a20
所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内
例3.解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)
解：由[x]的定义知，[x]￡x，故原方程可变为不等式：
lg2x-lgx-2￡0即-1￡lgx￡2
当-1￡lgx0时，[lgx]= -1，于是原方程为lg2x=1
当0￡lgx1时，[lgx]=0，原方程为lg2x=2，均不符合[lgx]=0
当1￡lgx2时，[lgx]=1，原方程为lg2x=3，所以lgx=，
当lgx=2时，x=100
所以原方程的解为x1=
例4.当a为何值时，不等式
有且只有一解
解：易知：a0且a11，设u=x2+ax+5，原不等式可化为
(1)当01时，原不等式为 (1)
由于当u30时，与均为单调增函数，所以它们的乘积
也是单增函数
因为f(4)=log3(2+1)log5(4+1)=1
所以(1)等价于u34,即x2+ax+534此不等式有无穷多解
(2)当a1时，不等式化为 (2)
由f(4)=1知，(2)等价于0￡u￡4，即0￡x2+ax+5￡4
从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0￡x2+ax+5￡4有唯一解x= -1
综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解
例5.已知a0且a11，试求使方程有解的k的取值范围
解：原方程即
即
分别解关于的不等式、方程得： (k10时)
所以解得k -1或01
又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-￥,-1)U(0,1)