几个重要不等式(一)
一、平均值不等式
设a1,a2,,an是n个正实数，则，当且仅当a1=a2==an时取等号
1.二维平均值不等式的变形
(1)对实数a,b有a2+b232ab(2)对正实数a,b有
(3)对b0，有，(4)对ab20有，
(5)对实数a,b有a(a-b)3b(a-b)(6)对a0,有
(7)对a0,有(8)对实数a，b有a232ab-b2
(9)对实数a，b及l10，有
二、例题选讲
例1.证明柯西不等式
证明：法一、若或命题显然成立，对10且10，取
代入(9)得有
两边平方得
法二、，即二次式不等式恒成立
则判别式
例2.已知a0,c0,abc=1,试证明：
(1)
(2)
证明：(1)左=[]
=
3
(2)由知
同理：
相加得：左3
例3.求证：
证明：法一、取，有
a1(a1-b)3b(a1-b),a2(a2-b)3b(a2-b),,an(an-b)3b(an-b)
相加得(a12+a22++an2)-(a1+a2++an)b3b[(a1+a2++an)-nb]30
所以
法二、由柯西不等式得：(a1+a2++an)2=((a11+a21++an1)2￡(a12+a22++an2)(12+12++12)
=(a12+a22++an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1,a2,,an是正实数，且a1+a2++an1，证明：
证明：设1-(a1+a2++an)=an+10,
则原不等式即nn+1a1a2an+1￡(1-a1)(1-a2)(1-an)
1-a1=a2+a3++an+13n
1-a2=a1+a3++an+13n
1-an+1=a1+a1++an3n
相乘得(1-a1)(1-a2)(1-an)3nn+1
例5.对于正整数n，求证：
证明：法一、
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3,,an为正数，且，求证：
(1)
(2)
证明：(1)
相乘左边3=(n2+1)n
证明(2)
左边=-n+2(
=-n+2[(2-a1)+(2-a2)++(2-an)](
3-n+2n