如何学好高中数学竞赛

一、竞赛简介

1.全国高中数学联赛

全国高中数学联赛旨在选拔在数学方面有突出特长的同学，让他们进入全国知名高等学府，而且选拔成绩比较优异的同学进入更高级别的竞赛，直至国际数学奥林匹克（IMO）。并且通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生们爱好数学，学习数学，激发学生们的钻研精神，独立思考精神以及合作精神。

2.中国数学奥林匹克（CMO）

冬令营邀请各省、自治区、直辖市全国高中数学联赛中的优胜者，以及香港、澳门、俄罗斯、新加坡等代表队参加，人数200人左右(现扩大为300人左右)，分配原则是每省市区至少三人，然后设立分数线择优选取。冬令营为期5天，第一天为开幕式，第二、第三天考试，第四天学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。

CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（为IMO试题的3倍，为符合中国人的认知习惯），6个题满分为126分。题目难度较国际数学奥林匹克为高，技术性极强。颁奖与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的约前30名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad，简称IMO）的中国国家集训队。 获奖选手都可以取得北京大学、清华大学、复旦大学、南京大学、中国科技大学、浙江大学、上海交通大学等全国一流的名牌大学的录取资格。

3.国际数学奥林匹克（IMO）

国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。

正如专家们指出：IMO的重大意义之一是促进创造性的思维训练，对于科学技术迅速发展的今天，这种训练尤为重要。数学不仅要教会学生运算技巧，更重要的是培养学生有严密的思维逻辑，有灵活的分析和解决问题的方法。[5]

国际数学奥林匹克竞赛对于促进中学数学教育的改革，激发青少年对数学的学习兴趣，选拔优秀的数学人才等都起到了越来越大的作用，受到人们的普遍重视。数学奥林匹克传统将永远发扬光大。

二、数学竞赛的意义

与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。

此外数学竞赛学到一定深度后就会发现，数学竞赛不再是由知识结构和解题方法组成，而是对思维能力的培养和运用，而思维能力的价值是远超过数学本身的，这将会对学生以后对问题的思考与对事物的判断等产生不可估量的影响。

三、关于学员选择

不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以前条件：

1、高考数学可以轻松应对；

2、对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛；

3、具备自主学习能力；

4、高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。

四、学习数学竞赛的方法

（一）全国联赛一试

此模块立足于高考又高于高考，题目难时间短，要想攻克此模块需在巩固高考基础的前提下多做难题并分析总结，辅之以足够的模拟训练。

（二）全国联赛二试、CMO、IMO

全国联赛二试、CMO、IMO都是依据中国数学会普及工作委员会于2006年8月制定竞赛大纲命题的，这也是数学竞赛的核心部分。

1. 思维启迪

数学竞赛与高考数学的差异不只是在命题大纲上，更表现在思维方式上。如果说一个在数学方面不是明显太弱的学生可以通过大量的难题训练来让自己的高考数学成绩提高的话，那么在数学竞赛上这是完全行不通的。从高考数学到竞赛数学，整个思维方式和学习方法的转变，如果没有一位有能力的教练的帮助，必然事倍功半。很多竞赛高手在后期的能力都是超越当初的入门教练的，但是教练在入门时提供的如果思考如果分析如果解题如何总结的方法却尤为重要。

2. 专题学习与思维养成

这部分一共分为代数、平面几何、数论、组合四个模块，学生应当对四块作专题学习，并在学习过程中熟悉并运用竞赛思维。整个学习过程最后可以有教练引导，但学生的自主学习意愿与自主学习能力尤为重要。

3. 专题分析与训练

竞赛中有很多重要的题型或是模型最好是由教练来点拨，辅之以足够的训练可以收获良好的效果。

4. 赛前模拟

赛前模拟的意义不言自明。

五、全国高中数学联赛、CMO、IMO大纲

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛（二试）在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：

1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

三角形旁心、费马点、欧拉线；

几何不等式；

几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转；

圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；

第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；

函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

3．初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

4．组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

组合计数，组合几何；

抽屉原理；

容斥原理；

极端原理；

图论问题；

集合的划分；

覆盖；

平面凸集、凸包及应用*。

(有*号的内容加试中暂不考，但在CMO、IMO中可能考。)