2000年全国高中数学联赛试题

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数，若A={x|0}，B={x|=},则是( )

(A){2} (B){-1} (C){x|x2} (D)

2．设sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,则的取值范围是( )

(A)(2kp+,2kp+), kZ　 　(B)(+,+),kZ

(C)(2kp+,2kp+p),kZ(D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kZ

3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )

(A) (B)(C)3 　(D)6

4．给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )

(A)无实根　 (B)有两个相等实根　 (C)有两个同号相异实根　 (D)有两个异号实根

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是( )

(A) (B)　(C)　(D)

6．设，则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )

(A)x4+x3+x2+x+1=0　 　(B) x4-x3+x2-x+1=0

(C) x4-x3-x2+x+1=0　 　(D) x4+x3+x2-x-1=0

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．arcsin(sin2000)=__________.

8．设an是(3-的展开式中x项的系数(n=2,3,4,)，则)=________.

9．等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.

10．在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则ABF=_________.

11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.

12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)ab,bc,cd,da；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)

13．设Sn=1+2+3++n,nN，求f(n)=的最大值.

14．若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].

15．已知C0:x2+y2=1和C1:(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。

【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）

一．（本题满分50分）

如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足BAE=CAF，作FMAB，FNAC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

二．（本题满分50分）

设数列{a n}和{b n }满足，且

证明a n（n=0，1，2，）是完全平方数．

三．（本题满分50分）

有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．