平面图形的面积

1． 关于面积的两点重要知识

（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方

例1（第2届美国数学邀请赛题）如图40-1，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4，9和49．求△ABC的面积．

解 设T是△ABC的面积，T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积；c是边AB的长，c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、t2和t3的边长．那么，由四个三角形相似，得

（2）两边夹角的三角形面积，灵活运用△ABC的面积公式S=可以方便地解决一些较难的面积问题．

例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动（如图40-2），已知P由A至B，R由C至D分别需要两秒钟；Q由B至C，S由D至A分别需要1秒钟；问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS的面积最小？

解设P的速度是Q的速度是;R的速度是,S的速度是.在t(0＜t1)秒时,AP=

设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S、S.

①

②

③

④

①+③得,

②+④得,

当t=有极小值．

答:经过秒后,四边形PQRS面积最小．

下面是一个用不等式来证明相等问题的例子．

例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部的一点,证明:如果2A=OP2+OQ2+OR2+OS2

那么PQRS是正方形并且O是它的中心．

证明 如图40-3，按题设有 此处无图

p2+q2+r2+s2=pqsin+qrsin+rsin+spsin

pq+qr+rs+sp ①

依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号．由①取等号有

由②取等号有p=q=r=s

因此PQRS是正方形,O是它的中心.

2.等积变换与面积法

等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题．

例4(第17届苏联竞赛题)图40-4中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等．

证明 如图:连ME、NC.

∵S△NME=S△CEM，

ME∥NC．

若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得

．

这样，则N为BE中点．

又

同理可证

例5（第9届全俄中学竞赛题）如图40-5在凸五边形ABCDE中，对角线CE分别交对角线BD、AD于F、G，BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2：3，求△CFD和△ABE的面积比．

解 连AF.∵CF：FG：GE=2：2：3，

S△CFD：S△DFG：S△DEG=2：2：3.

S△CFD=S,则S△FDG=S，S△DGF=S.

又BF：FD=5：4，S△BEF:S△FDE=5：4．

S△BEF=(S△FDG+S△DEG)=S

又由BF：FD=5：4，S△ABF:S△AFD=5：4．

S△ABE=SABFE-S△BFE

=（S△ABF+S△AFG+S△AGE）-S△BFE

=5S-S=S

(∵AG:GD=1:1).

即S△CFD:S△ABE=8:15.

例6 六边形ABCDEF内接于⊙O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a)),求此六边形的面积.

分析 如果连OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么容易看出

S△AOB=S△BOC=S△COD，

S△DOE=S△EOF=S△FOA．

=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOE+S△EOF+S△FOA．

从加法满足交换律联想到图形可以改变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等积的新的六边形ABCDEF,其中,⊙O与⊙O为等圆,且AF=BC=DE=1,AB=CD=EF=把AB,CD,EF分别向两方延长得交点M、N、P(如图40-6(b)),容易证明BAF=120等,从而△MNP为等边三角形.

例7（1962年上海竞赛题）已知△ABC∽△ABC如图40-7，AB=c,BC=a,CA=b,A、B、C到BC、CA、AB的距离分别为l、m、n.求证：la+mb+nc=2S△ABC.

分析 欲证上述结论，只须证S△ABC+S△BCA+S△CAB=S△ABC．

我们试想,当△ABC收缩为一点时,上式显然成立,因此,如果我们能够做到在将△ABC逐渐收缩为一点的过程中，保持左边三项的面积始终不变，那么问题便解决了.为了保持△ABC面积不变，我们试用等积工具，设法使A沿平行于BC的直线运动，同样B、C分别沿着平行于CA、AB的直线运动.而这三条分别平行于BC、CA、AB的直线如能共点，即反映△ABC可收缩为一点．

证明 分别过B，C作直线BD∥CA，CD∥BA，直线CD交BD于D、交BC于E．

则CDB=BAC，又△ABC∽△ABC，

△BAC=BAC=CDB．这说明C、D、A、B四点共圆，ADC＝ABC＝ABC＝DEC，AD∥BC．

过D分别作DLBC于L，DMCA于M，DNAB于N，连DA、DB、DC、则由DA∥BC、DB∥CA，DC∥AB，得DL=ｌ，DM=ｍ，DN=ｎ．

于是ｌa+mb+nc=DLBC+DMAC+DNAB=2（S△DBC+S△DCA+S△DAB）=2S△ABC.

有些看似与面积无关的几何问题，如能够巧妙地引入面积关系，便可迅速求解，这就是所谓的面积法．

例８（美国数学竞赛题）在一个给定的角Ｏ内，任决地给定一点Ｐ，过Ｐ作一直线交定角的两边于Ａ、Ｂ两点（如图４０－８），问过Ｐ作怎样的直线才能使最大？

解设ＯＰＢ＝，△ＯＰＡ、△ＯＰＢ的面积分别为Ｓ１、Ｓ２，则

于是

因此

但，

当=90时,sin取得最大值1,因此当过P点的直线与OP垂直时,达到最大值

3． 杂题

竞赛中出现的一些综合性较强的面积问题，一般采用简化图形或根据题意构造适当的图形来处理．

例9（1987年全俄中学生竞赛题）凸四边形ABCD的面积为S.K、L、M、N分别是AC、AD、BC和BD的中点．证明：SKLNM＜０．５S．

证明 设P、Q分别是AB、CD的中点（如图４０－９）．注意到PLQM、MKNL都是平行四边形，且SKLNM＝S，因此，只须证明KLNM含于PLQM内．

设PL、MQ分别交AC于E、F，则点K位于E、F之间．若不然，例如点K在线段AE上，则有ＡＫＡＥ，因ＥＦ＝ＰＭ＝ＡＫ＝０．５ＡＣ，故有关系式ＡＣ＝２ＡＫ＝ＡＫ＋ＥＦＡＥ＋ＥＦ＜ＡＣ，矛盾．同理Ｋ也不能在Ｆ．Ｃ之间，于是Ｋ在ＰＬＱＭ内．同样可证Ｎ也在ＰＬＱＭ内，由此得ＳＫＬＮＭ＜ＳＰＬＱＭ＝０．５Ｓ．

例１０（第２０届全苏中学生竞赛题）Ｍ点在锐角△ＡＢＣ的ＡＣ边上，作△ＡＢＭ和△ＣＢＭ的外接圆．问当Ｍ点在什么地方时，两外接圆公共部分的面积最小？

解 设Ｏ、Ｏ１分别是△ＡＢＭ和△ＣＢＭ外接圆的圆心．两外接圆的公共部分面积是两个以ＢＭ为公共弦的弓形面积之和，可以考虑保时弓形的面积最小．

注意到

ＢＯＭ＝２ＢＡＭ＝常数．

ＢＯ１Ｍ＝２ＢＣＭ＝常数．

因此，研究当弓形所对的圆心角固定时，弓形面积与弓形弦的关系．设圆心角为，弓形弦长为ｂ，那么弓形的面积为

由此可见，上图中若ＢＭ越小，则每个弓形的面积越小、所以当ＢＭ是△ＡＢＣ的高，即ＢＭＡＣ，Ｍ为垂足时，两外接圆公共部分的面积最小．

例１１ 设Ａ、Ｂ为半径等于１的⊙Ｏ上任意两点，若过Ａ、Ｂ的任意线段或曲线段Ｌ将⊙Ｏ面积平分，则Ｌ的长ｌ必不小于２．

证明 若ＡＢ为⊙Ｏ的直径，且Ｌ为直线时，显然Ｌ将⊙Ｏ面积平分，这时ｌ＝２．

若ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｌ不是直线时，则ｌ＞ＡＢ，即ｌ＞２．

若ＡＢ不是⊙Ｏ的直径，如图４０－１１，作平行于ＡＢ的直径ＭＮ，作Ａ关于ＭＮ的对称点Ａ，Ａ必在⊙Ｏ上，连ＡＢ，易知ＡＢ为⊙Ｏ的直径．由曲线Ｌ平分⊙Ｏ知，Ｌ上必有点与Ａ、Ｂ在ＭＮ的异侧．取这样的一点Ｃ，并连结ＡＣ、ＢＣ，ＡＣ交ＭＮ于Ｄ，连ＢＤ、ＡＤ，则

据此易证ｌＡＣ＋ＢＣ＞２．

综上得ｌ２，即Ｌ的长必不小于２．

最后我们介绍解决三角形面积问题的一个重要技巧三角形的剖分．将任意△ＡＢＣ的三边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ分别分成ｎ等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，这样将△ＡＢＣ分成若干个全等的小三角形（如图４０－１２）的手续，叫做对△ＡＢＣ进行剖分．究竟分成多少等分，则视需要而定．

例１２（１９８４年全国数学竞赛题）Ｐ为△ＡＢＣ的边ＢＣ上任一点，作ＰＥ∥ＡＢ，ＰＦ∥ＡＣ．设△ＡＢＣ的面积等于１．求证：△ＢＰＦ、△ＰＣＥ、四边形ＡＦＰＥ的面积中，至少有一个不小于

证明 如图４０－１３，作△ＡＢＣ的剖分．这时每一个小三角形的面积均等于．

显然，如果点Ｐ在线段ＢＡ１上变动时，△ＰＣＥ完整地盖住了四个小三角形，因此△ＰＣＥ的面积．对称地，如果点Ｐ落在线段Ａ２Ｃ上，则△ＢＰＦ的面积．

余下的只须讨论点Ｐ在线段Ａ１Ａ２内变动的情形，利用平行线的基本性质可证．

△ＦＣ２Ｉ≌△ＭＡ１Ｐ≌△ＮＪＧ．

这说明上图中带阴影的两个三角形有相等的面积．又因为

△ ＥＪ２Ｂ≌△ＮＰＡ２≌△ＭＧＩ，

这说明图中涂黑了的两个三角形面积相等．

将四边形ＡＦＰＥ中△ＮＪＧ剪下来再拼到△ＦＣ２Ｉ上；把△ＭＧＩ剪下来再拼到△ＥＢ２Ｊ２上，我们看出：