不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大,灵活性强,要求很高的技巧,常常使它成为各类数学竞赛中的高档试题。而且,不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题,都可能与不等式有关,这就使得不等式的问题(特别是有关不等式的证明)在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样,没有固定的模式,证法因题而异,灵活多变,技巧性强。但它也有一些基本的常用方法,要熟练掌握不等式的证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始。
一、不等式证明的基本方法
1.比较法
比较法可分为差值比较法和商值比较法。
(1)差值比较法
原理A-B>0A>B.
【例1】(l)m、n是奇偶性相同的自然数,求证:
(am+bm)(an+bn)<2(am+n+bm+n)。
(2)证明:。
【例2】设a1an,b1bn,j1,j2,,jn是1,2,,n的任意一个排列,令
S=a1+a2++an,S0=a1bn+a2bn-1++anb1,S1=a1b1+a2b2++anbn。
求证:S0S1。
(2)商值比较法
原理若1,且B0,则AB。
【例3】已知a,b,c0,求证:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b。
2.分析法
【例4】若x,y0,求证:。
【例5】若a,b,c是△ABC的三边长,求证:a4+b4+c42(a2b2+b2c2+c2a2)。
3.综合法
【例6】若a,b,c0,求证:abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。
【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1,S△ABC=,a,b,c是△ABC的三边长,令
S=,t=。
求证:tS。
4.反证法
【例8】已知a3+b3=2,求证:a+b2。
5.数学归纳法
【例9】证明对任意自然数n,。
二、不等式证明的若干技巧
无论用什么方法来证明不等式,都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口。
1.变形技巧
【例1】若nN,S=+++,
求证:nn+1。
【例2】(1)若A、B、C[0,],求证:
sinA+sinB+sinC3sin。
(2)△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A,B,C,求证:S△ABCS△ABC。
2.引入参变量
【例3】将一块尺寸为4870的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒,求铁盒的最大容积。
【例4】在△ABC中,求证:a2+b2+c24△+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。
其中,a,b,c是△ABC的三边长,△=S△ABC。
3.数形结合、构造
【例5】证明:。
4.递推
【例6】已知:x1=,x2=,,xn=。求证:。
三、放缩法
【例1】若nN,n2,求证:。
【例2】、都是锐角,求证:9。
【例3】已知:a11,a1a21,,a1a2an1,求证:
。
【例4】S=1++++,求S的整数部分[S]。
【例5】设a0=5,an=an-1+,n=1,2,。求证:45a100045.1。