三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．
一、三角函数的性质及应用
三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．
【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。
解：y=2sin(-2x)=2sin(2x+)。
由2k2x++，kZ，
得kx-，kZ。
即原函数的单调增区间为：[k-，k-]（kZ）。
【例2】若（0，），比较sin(cos)，cos(sin)，cos这三者之间的大小。
解：∵在（0，）中，sinxtgx，而01，sin(coscos。
∵在（0，）中，y=cosx单调递减，coscos(sin)。
sin(coscoscos(sin)。
【例3】已知x,y[-，]，aR，且。求cos(x+2y)的值。
解：原方程组化为。
∵x,-2y[-，]，函数f(t)=t3+sint在[-，]上单调递增，且f(x)=f(-2y)
x=2y，cos(x+2y)=1。
【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得sin（cosc）＝c，cos（sind）＝d．
证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=10，f（）＝cos（sin）－=cos1－0，
存在唯一的d（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝d．
对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sind，sin（cosc）=c。
显然c（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。
故存在唯一的c＜d，使命题成立。
【例5】、、（0，），且ctg=，sin(ctg)=，ctg(sin)=。比较、、的大小。
解：∵、、（0，），ctg0，0sin。
=sin(ctgctg，=ctg(sinctg。
作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：。
【例6】nN，n2，求证：coscoscos。
证明：∵01，
0，cos2=1-sin21-=，k=2，3，，n。
(coscoscos)2()()()()
=()2，
coscoscos。
二、三角恒等变换
众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。
【例1】（1）已知cos=-，sin(+)=，且0，求sin的值。
（2）已知sin(-)=，求的值。
提示：（1）sin=。
（2）sin2=1-2sin2(-)=；=。
【说明】三角变换重在角的变换。
【例2】求coscoscoscos的值。
解法1：利用公式coscos2cos4cos2n=，得
coscoscoscos=-，coscoscoscos=。
又coscos=，cos=，
coscoscoscos==。
解法2：coscoscoscos
=
==。
解法3：利用公式coscos(+)cos(-)=cos3，取=、。
【例3】求cos420+cos440+cos480的值。
解：由倍角公式得
cos4=()2=(1+2cos2+cos22)=+cos2+cos4，
cos420+cos440+cos480=3+(cos40+cos80+cos160)
+(cos80+cos160+cos320)=+(cos40+cos80+cos160)
=+(2cos60cos20-cos20)=。
【例4】若sin+cos=，cos+sin=，求sincos的值。
解：令=-，则
(1)(2)得tg=，cos(+)=，
sincos=sinsin=-[cos(+)+cos(-)]=-。
【例5】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函数，0，求。
解法一：由偶函数的定义，可得(cos+sin)sinx=0对任意xR成立。
cos+sin=0，2sin(+)=0，
+=k，而0，=。
解法二：由f(-)=f()，得=，然后验证f(x)是偶函数。
【例7】方程sinx+cosx+a=0在（0，2）内有相异两根、，求实数a的取值范围，以及+的值。
解：∵sinx+cosx+a=0，sin(x+)=-。
令t=x+，则t(，)，sint=-。
作出函数y=sint，t(,)的图象：
由图象可以看出：当-11且-即-2-或-2时，sint=-有相异两根t1、t2，原方程有相异两根、，并且
当-2-时，t1+t2=(+)+(+)=，+=；
当-2时，t1+t2=(+)+(+)=3，+=。
【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。
解：由已知得，
(1)2+(2)2得cos(x-y)=-，
同理，cos(y-z)=-，cos(z-x)=-。
x，y，z中任意两角的终边夹角为，不妨设
x=y++2mZ，y=z++2nZ，
x=z++2(m+n)，
x+y+z=3z+2(m+2n+1)，
s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz
=tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz
=tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz
=tg3z+tgztg(+z)tg(-z)
=0。
【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便：
sinsin(+)sin(-)=sin3，
coscos(+)cos(-)=cos3，
tgtg(+)tg(-)=tg3。
如sin10sin50sin70=sin(310)=。