几个重要不等式(二)柯西不等式
，当且仅当bi=lai(1￡i￡n)时取等号
柯西不等式的几种变形形式
1.设ai?R,bi0(i=1,2,,n)则，当且仅当bi=lai(1￡i￡n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,,n)，则，当且仅当b1=b2==bn时取等号
例1.已知a1,a2,a3,,an，b1,b2,,bn为正数，求证：
证明：左边=
例2.对实数a1,a2,,an,求证：
证明：左边=
例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边3
例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：
证明：左边=
3
=
=
例5.若n是不小于2的正整数，试证：
证明：
所以求证式等价于
由柯西不等式有
于是：
又由柯西不等式有
例6.设x1,x2,,xn都是正数(n32)且，求证：
证明：不等式左端即(1)
∵，取，则(2)
由柯西不等式有(3)
及
综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：
三、排序不等式
设a1￡a2￡￡an,b1￡b2￡￡bn;r1,r2,,rn是1,2,,n的任一排列，则有：
a1bn+a2bn-1++anb1￡a1br1+a2br2++anbrn￡a1b1+a2b2++anbn
反序和￡乱序和￡同序和
例1.对a,b,c?R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小
解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c33a2b+b2c+c2a
例2.正实数a1,a2,,an的任一排列为a1/,a2/,an/，则有
证明：取两组数a1,a2,,an；
其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有
例3.已知a,b,c?R+求证：
证明：不妨设a3b3c0,则0且a123b123c120
则
例4.设a1,a2,,an是1,2,,n的一个排列，求证：
证明：设b1,b2,,bn-1是a1,a2,,an-1的一个排列，且b1bn-1；
c1,c2,,cn-1是a2,a3,,an的一个排列,且c1cn-1
则且b131,b232,,bn-13n-1；c1￡2,c2￡3,,cn-1￡n
利用排序不等式有：
例5.设a,b,c?R+,求证：
证明：不妨设a3b3c,则，a23b23c20
由排序不等式有：
两式相加得
又因为：a33b33c30,
故
两式相加得
例6.切比雪不等式：若a1￡a2￡￡an且b1￡b2￡￡bn,则
a1￡a2￡￡an且b13b233bn,则
证明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2++anbn=a1b1+a2b2++anbn
a1b1+a2b2++anbn3a1b2+a2b3++anb1
a1b1+a2b2++anbn3a1b3+a2b4++anb2
a1b1+a2b2++anbn3a1bn+a2b1++anbn-1
将以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2++anbn)3a1(b1+b2++bn)+a2(b1+b2++bn)++an(b1+b2++bn)