27届美国数学奥林匹克竞赛

1．已知：集合{1、2、..1998}，把其中的元素两两一组分成不同的数组{ai，bi}（1999），

使得对于所有i都有| ai - bi| 等于1或6。

求证：| a1 b1|+| a2- b2|+。。。+| a999 b999|的和的各位数为9。

2．已知：c1、c2为同心圆c2在c1内部，过A点做c2的切线AC，切点为B，D是AB中点，直线AE与圆c2交于E、F，使得线段DE、CF的垂直平分线的交点M在直线AB上。（下为参考图）

　 求：AM/MC并写出理由。

3．已知：数a0，a1，。。。an属于（0，/2），

且tan（a0/4）+ tan（a1/4）+。。。+ tan（an/4）1。

　 求证：tan a0 tan a1 tan ann n1。

第二部分（下午1：00-4：00）

1998年4月28

4．设想：计算机屏幕上有一个9898的国际象棋棋盘（黑白相间），你可以按住鼠标左键拖动鼠标选定任意区域的方格，点击右键可使在你选定区域内的所有方格的颜色发生改变（黑的变白，白的变黑）。求：把棋盘所有方格变为同一种颜色所需点击鼠标的最少次数，并证明。

5．求证：存在包含n（n2）个整数的集合S，使（ab）2整除ab，其中a、bS。

6．对于凸多边形A1A2。。。An（其中n5），有k（k是n的一个函数）个四边形AiAi+1Ai+2Ai+3

存在内切圆，试求整数k的最大值。（这里：An+j=Aj）